Resumindo a Matemática

Já que tem gente muito ruim em matemática, que levou vermelha e não tem condições de avançar na matéria, aqui tem um pequeno resumo da matemática (de vários anos). Se você pensa que sabe, mesmo assim é bom ler.

Introdução à equação:
Todo problema matemático e físico é uma equação. Ou seja, o mundo é feito de equações. Toda equação tem um formato, assim como expressões. Esses formatos são reprentados por letras (variáveis) que podem ser substituidas por qualquer número. Exemplo: (2+√3)² = 2² + √3² + 2.2.√3 está em formato (a+b)² = a²+b²+2ab.

Equação de primeiro grau:
O formato de toda equação de primeiro grau é ax+b=0. Exemplo: 8x + 16 = 4 --> 8x - 12 = 0
a= 8, x = x, b = -12.
Em uma equação, um lado equivale ao outro. Se 5=5, 5.2 = 5.2, 5+3 = 5+3, √5 = √5, e √(5+3.2/6) = √(5+3.2/6). Portanto, podemos fazer o que quisermos com a equação: adicionarmos letras, números, elevarmos ao quadrado, tirarmos a raiz, etc.
Calcule: 16x - 30 = 12x - 18 Vamos adicionar nos dois lados 18.
16x - 30 + 18 = 12x - 18 + 18 --> 16x - 12 = 12x Agora vamos adicionar 12 nos 2 lados:
16x -12 + 12 = 12x + 12 --> 16x = 12x + 12 Agora está na hora de subtrairmos 12x:
16x - 12x = 12 - 12x --> 4x = 12 agora vamos dividir ambos os lados por 4.
4x/4 = 12/4 --> 1x = 12.
Calcule: x²/4 = 16 Vamos multiplicar a equação por 4 --> (x²/4).4 = 16.4 --> x² = 64
Vamos tirar a raiz quadrada da equação --> √x² = √64 --> x¹ = 8.
Agora tente calcular ³√x = 5.
Se conseguiu, está bem. É só elevar a equação ao cubo e teremos x = 5³ --> x = 125.

Produto notável:
Não tem essa de quadrado do primeiro mais o quadrado do segundo mais ou menos duas vezes o primeiro vezes o segundo. A equação do produto notável é:
(a+b)² = a²+b²+2ab.
Note que se a for negativo, a²+b²-2ab da mesma forma. Por isso usamos a+b. Ex:
a = -5 b=√3
(-5 + √3)² = 25 + 3 -2.5√3 = 28 - 10√3.
Tem mais produtos notáveis:
(a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
(a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd.
(a+b)³= a³+b³+3a²b+3ab².
(a+b+c)³=a³+b³+c³+3a²b+3a²c+3b²a+3b²c+3c²a+3c²b.
E tem muito mais. Você descobre o resto!

Raiz quadrada:
Lembre-se que a raiz de a²+b² não é a+b.
√a²b²=a+b
√(a²+b²+2ab) = √(a+b)² = a+b
^√a = a^1/n (esse ^ significa elevado, caso você não saiba. 3^(7/4) = 3 elevado a sete quartos.
^n√a.^n√b = ^n√ab (esse ^n significa que raiz é. ex: ^5√8 = raiz quinta de 8).
^n√(^m√a) = ^mn√a (ou simplesmente ²√³√a = ^6√a).
Agora sempre se lembre disso:
a^m . a^n = a^mn
^n√a = a^[n^-1] Ou raiz n de a = a elevado a n elevado a -1, ou a elevado a 1/n.

Algumas dicas úteis.
a/b/c/d = (a/b).(d/c) Por exemplo: 3/4/5 = 3/4/5/1 = (3/4)(1/5) = 3/20.
a/b = a.b^-1
(ab)²=a²b²

A equação de segundo grau: A fórmula de Bháskara.
O formato da equação de segundo grau é ax²+bx+c=0, enquanto da de 1º grau é de ax+b=0.
ex: 5x+7=0 --> primeiro grau 4x²+9x-2 ---> 2º grau.
em -x²+7x-12=0, que está em formato ax²+bx+c=0, eu PRECISO achar o a, b, c.
a = -1, porque tem o x². O que tem o x é o b, ou seja, 7. O que não tem x é o -12.
a = -1; b=7; c=-12; x=x.

Agora, o que eu fizer na equação ax²+bx+c=0 pode ser feita nessa. Basta substituir as letras.
Preste muita atenção agora:
ax²+bx+c=0 --> multiplico a equação por 4a.
4a²x² + 4abx + 4ac = 0 --> adiciono b² nos 2 lados.
4a²x² + 4abx + 4ac + b² = b² --> Fatoro a equação de tal forma que eu ache um produto notável. Eu consigo fatorar 4a²x²+4abx+b², que se transforma em (2ax + b)².
(4a²x² + 4abx + b²) = b² - 4ac
(2ax + b)² = b² - 4ac Tiro a raiz quadrada dos dois lados da equação.
+/-√((2ax + b)²) = +/-√(b²-4ac) Tenho dois +/- (mais ou menos). Há apenas a necessidade de um deles. Por que +/- x = +/- y --> x = +/- y --> y = +/-x.
2ax+b = +/-√(b²-4ac) Divido a equação por 2a
x + b/2a = +/-√(b²-4ac)/2a
x = -b/2a +/- √(b²-4ac)/2a
x=[-b+/-√(b²-4ac)]/2a.

Lembrando que o a é diferente de 0 (nada divide por 0).
Esse b²-4ac é chamado de ∆ (DELTA). A raiz de ∆ deve ser sempre maior ou igual a 0, ou X pertencerá aos complexos.
Portanto: x=(-b+/-√∆)/2a.


Não entendeu esse ∆? É só uma nomenclatura para um polinômio. ∆=b²-4ac.
Traduzindo:

ax²+bx+c=0
x=[-b+/-√(b²-4ac)]/2a.
a é diferente de 0.

Agora eu posso substituir aquele exercício:
a = -1; b=7; c=-12; x=x.
x=[-7+/-√(7²-4.-1.-12)]/-2
x=[-7+/-√(49-48)]/-2
x=[-7+/-√1]/-2
x=[-7+/-1]/-2
Agora temos o +/- para resolver. Vou fazer duas equações: Uma com + e uma com -. Para isso, uso x'(x linha) para + e x'' (x duas linhas) para -. São os possíveis valores do x.
x' = [-7+1]/-2
x' = [-6]/-2
x' = 3

x'' = [-7-1]/-2
x'' = -8/-2
x'' = 4

x pode ser tanto 3 como 4.

Agora que você já sabe (eu acho) a tão famosa equação de segundo grau, contenha a hemorragia de notas vermelhas... fazendo os exercícios do seu livro! Ou tente fazer esse exercício abaixo (já vem com resposta e tudo!).

Pra que merd@ que eu uso isso?
É muito utilizada em problemas de xy (e não de x+y). Também é utilizada na arquitetura, para calcular o centro da gravidade de um objeto, que é usado para saber a força que a base de uma construção sofre e em que ponto ela sofre mais. Se um arquiteto não calcular o centro da gravidade de uma construção não paralelepipeda, ela poderá desmoronar.